重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離平方的和最小。(等邊三角形）重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

證明：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點(diǎn)。EC、FB交于G。

求證：EG=1/2CG

證明：過(guò)E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

證明方法：

在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點(diǎn)O是該三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分別為a、b、c邊上的中線。根據(jù)重心性質(zhì)知：

OA'=1/3AA'

OB'=1/3BB'

OC'=1/3CC'

過(guò)O，A分別作a邊上高OH'，AH

可知OH'=1/3AH

則，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC

同理可證S△AOC=1/3S△ABC

S△AOB=1/3S△ABC

所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

證明：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，作點(diǎn)P到BC、AC、AB的垂線段，垂足分別為D、E、F，延長(zhǎng)AP交BC于M。記△ABC的面積為S，BC為a，AC為b，AB為c，PD為a'，PE為b'，PF為c'。

∵aa'/2+bb'/2+cc'/2=S△BCP+S△ACP+S△ABP=S

∴aa'+bb'+cc'=2S

由均值不等式知，[(aa'+bb'+cc')/3]^3≥aa'bb'cc'=(abc)*(a'b'c')，當(dāng)且僅當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)等號(hào)成立。

∴a'b'c'≤[(aa'+bb'+cc')/3]^3/(abc)=(S/3)^3/(abc)=8S^3/(27abc)，當(dāng)且僅當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)等號(hào)成立。

∴a'b'c'惟獨(dú)當(dāng)aa'=bb'=cc'時(shí)才會(huì)取得最大值。

此時(shí)，S△ABP=cc'/2=bb'/2=S△ACP，由燕尾定理知，BM/CM=S△ABP/S△ACP=1。

∴此時(shí)BM=CM，M是BC的中點(diǎn)，AM是△ABC的中線，P在△ABC中BC邊的中線上。

同理可證此時(shí)P在△ABC中AB、AC邊的中線上。

∴當(dāng)a'b'c'最大時(shí)，P是△ABC的重心，即重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。