2021年一般 高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用 28鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不

能答在試卷上，

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一井交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，惟獨(dú)一項(xiàng)是符合題目要求的。

1. 設(shè)集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},則A∩B=

A.{2} B.{2,3} C.{3,4,}  D.{2,3,4}

2.已知z=2-i，則(=

A.6-2i  B.4-2i  C.6+2i   D.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為

A.2  B.2  C.4   D.4

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin()單調(diào)遞增的區(qū)間是

A.(0, ) B.(,)  C.(,)   D.(,)

5.已知F1,F2是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C 上，則|MF1|·|MF2|的最大值為

A.13 B.12  C.9   D.6

6.若tan=-2,則=A.

B.

C.

D.

7.若過點(diǎn)（a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則A. eb<aB. ea<bC. 0<a<ebD. 0<b<ea  

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立 

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 

9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù)，則A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同 

10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(cosα,sinα),P2(cosβ，-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0),則A.|=B.=

C.=D.

11.已知點(diǎn)P在圓+=16上，點(diǎn)A（4,0），B（0,2），則

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|=3

D.當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|=3

12.在正三棱柱ABC-中，AB=A，點(diǎn)P滿足，其中λ∈[0,1]，∈[0,1]，則

A．當(dāng)λ=1時(shí)，△P的周長(zhǎng)為定值

B. 當(dāng)=1時(shí)，三棱錐P-

C. 當(dāng)λ=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得

D.當(dāng)=時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得B⊥平面AP

三．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知函數(shù)f(x)=是偶函數(shù)，則a=____________

14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，則C的準(zhǔn)線方程為____

15. 函數(shù)f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值為  

16. 某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)此紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dmXl2dm的長(zhǎng)方形紙.對(duì)折1次共可以得到10dmX2dm . 20dmX6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和=240 dm2,對(duì)折2次共可以得5dmX12dm ，10dmX6dm，20dmX3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和180dm2.以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______:如果對(duì)折n次，那么=______dm2

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)已知數(shù)列{}滿足=1，

(1)記=，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求的前20項(xiàng)和

18.(12 分)

某學(xué)校組織"一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從中隨機(jī)抽収一個(gè)問題冋答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若 回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽 結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題 回答正確得80分，否則得0分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8 ,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6 . 且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列：

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

19.(12分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a.，b.，c,已知=ac,點(diǎn)D在邊AC 上，BDsin∠ABC = asinC.

(1)證明：BD = b：

(2)若AD = 2DC .求cos∠ABC.

20.(12分)

如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O為BD的中點(diǎn).

(1)證明：OA⊥CD：

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.點(diǎn)E在 棱AD上. DE = 2EA .且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

21.(12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)(-7,0)，(7,0),點(diǎn)M滿足|MFt|-|MF2|=2.記M 的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上，過T 的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn),且|TA||TB|=|TP||TQ| ,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x（1-lnx)

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b證明:

新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)答案解析

1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BD

13.a=1

14.

15.1

16.5；

17.

（1）解：由題意得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=5

∵b1=a2=a1+1,∴a2-a1=1.

b2=a4=a3+1=a2+3 ∴a4-a2=3.

同理a6-a4=3

……

bn=a2n-a2n-2=3.

疊加可知a2n-a1=1+3(n-1)

∴a2n=3n-1

∴bn=3n-1.驗(yàn)證可得b1=a2=2，符合上式.

（2）解：∵a2n=a2n-1+1

∴a2n-1=a2n-1=3n-2.

∴設(shè){an}前20項(xiàng)和為S20

∴S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)

     =145+155=300

18.

（1）解：

由題意得x=0,20,100.

P（x=0）=0.2  

P(x=20)=0.8×0.4=0.32 

P(x=100)=0.48

X

0

20

100

P

0.2

0.32

0.48

∴

（2）解：

小明先選擇B，得分為y

∴y=0,80,100

P（y=0）=0.4

P(y=80)=0.6×0.2=0.12

P(y=100)= 0.6×0.8=0.48

y

0

80

100

p

0.4

0.12

0.48

∴

Ex=54.4  Ey=57.6

∴小明應(yīng)先選擇B.

19.

（1）由正弦定理

得,即=

又由BD=asinc，得BD=asinc,

即 BD=b

(2) 由AD=2DC,將=2,即==

||2 ||2+||2+

=c2+a2+ca

-11ac+3=0

a=c或a=c

①  cos=

=

②cos(x)

綜上

cos=

20.

(1)證明：

由已知，中AB=AD且O為BD中點(diǎn)

AO⊥BD

又平面ABD⊥平面BCD

AO⊥平面BCD且CD平面BCD

AO⊥CD

(2)由于為正三角形，邊長(zhǎng)為1

OB=OD=OC=CD

BCD=

取OD中點(diǎn)H，連結(jié)CH，則CH⊥OD

以H為原點(diǎn)，HC,HD,HZ為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

由①可知，平面BCD的法向量

設(shè)C()，B(0,)，D(0,)

則

DE=2EA

且

設(shè)⊥平面BEC=(x,y,z)

，即

由于二面角E-BC-D為

==

21.（1）,

 表示雙曲線的右支方程：

 （2）設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，

 ，得

 設(shè)，同理可得

 所以

 得

即

22.（1）f(x)=x-xlnx

令f’(x)＞0，則0＜x＜1，

令f’(x)＜0，則x＞1

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).

(2)

即，即f()=f()

令p=，q=，不妨設(shè)0＜p＜1＜q，下面證明2＜p+q＜e.

①     先證p+q＞2，當(dāng)p≥2時(shí)結(jié)論顯然成立.

當(dāng)q∈(1,2)時(shí)，p+q＞2,，則p＞2-q，∴2-q＜1.只需設(shè)f(p)＞f(2-q).

即證當(dāng)q∈(1,2)時(shí)，由f(p)＞f(2-q)

令g(x)=f(x)-f(2-x).

g’(x)=f’(x)+f’(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[-(x-1)2+1]

當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，-(x-1)2+1＜1，所以g’(x)＞0,

∴g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

∴g(q)＞g(1)=0，即f(q)＞f(2-q)

②再設(shè),

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴

∵   ∴

要證只需證

即證當(dāng)時(shí)，有

設(shè)，，

設(shè)小于1的根為，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

證畢

來源：高三網(wǎng)