2021年一般 高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)乙卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，惟獨一項是符合題目要求的。

1.設(shè)2（z+）+3(z-)=4+6i，則z=( ).

A.1-2i

B.1+2i

C.1+i

D.1-i

2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，則S∩T=( )

A.

B.S

C.T

D.Z

3.已知命題p：x∈R，sinx＜1；命題q：x∈R，≥1，則下列命題中為真命題的是（ ）

A.pq

B.pq

C.pq

D.(pVq)

4.設(shè)函數(shù)f(x)=，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為（ ）

A.

B.

C.

D.

6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）

A.60種

B.120種

C.240種

D.480種

7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-)的圖像，則f(x)=（ ）

A.sin()

B. sin()

C. sin()

D. sin()

8.在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）

A.

B.

C.

D.

9.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海盜的高。如圖，點E,H,G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（ ）.

A：

B：

C：

D：

10.設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)的極大值點，則（ ）.

A：a＜b

B：a＞b

C：ab＜a2

D：ab＞a2

11.設(shè)B是橢圓C：（a＞b＞0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足，則C的離心率的取值范圍是（ ）.

A：

B：

C：

D：

12.設(shè)，，，則（ ）.

A：a＜b＜c

B：b＜c＜a

C：b＜a＜c

D：c＜a＜b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線C：（m>0）的一條漸近線為+my=0，則C的焦距為           .

14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，則λ=            。

15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，B=60°，a2+c2=3ac，則b=           .

16.以圖①為正視圖和鳥瞰圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和鳥瞰圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和鳥瞰圖的編號依次為           （寫出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：

舊設(shè)備

9.8

10.3

10.0

10.2

9.9

9.8

10.0

10.1

10.2

9.7

新設(shè)備

10.1

10.4

10.1

10.0

10.1

10.3

10.6

10.5

10.4

10.5

舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為s12和s22

（1）    求，， s12，s22；

（2）    推斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果-≥，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

18.(12分)

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點，且PB⊥AM，

（1）    求BC；

（2）    求二面角A-PM-B的正弦值。

19.（12分）

記S n為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項和，已知=2.

（1）    證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）    求{an}的通項公式.

20.（12分）

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點。

（1）    求a；

（2）    設(shè)函數(shù)g（x）=，證明：g（x）＜1.

21.（12 分）

己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

（1）求p；

（2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求PAB的最大值.

（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

在直角坐標系xOy中，C的圓心為C（2，1），半徑為1.

（1）寫出C的一個參數(shù)方程；的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）過點F（4,1）作C的兩條切線, 以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條直線的極坐標方程.

23.[選修4一5：不等式選講]（10分）

已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.

（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范圍.

2021年一般 高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)乙卷（參考答案）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

1-5 CCABD

6-10 CBBAD

11-12 CB

13.4

14.

15.2

16.②⑤或③④

17.解：（1）各項所求值如下所示

=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

=x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,

= x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.

(2)由(1)中數(shù)據(jù)得-=0.3,2≈0.34

顯然-＜2，所以不認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高。

18.解：（1）因為PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分別為x，y，z軸正方向，D為原點建立空間直角坐標系D-xyz。

設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0），

因為PB⊥AM，所以?=-+1=0，所以t=，所以BC=。

（2）設(shè)平面APM的一個法向量為m=（x，y，z），由于=（-，0，1），則

令x=，得m=（，1，2）。

設(shè)平面PMB的一個法向量為n=（xt，yt，zt），則

令=1，得n=(0,1,1).

所以cos（m，n）===,所以二面角A-PM-B的正弦值為.

19.（1）由已知+=2,則=Sn(n≥2)

+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n≥2),b1=

故｛bn｝是以為首項，為公差的等差數(shù)列。

（2）由（1）知bn=+（n-1）=,則+=2Sn=

n=1時，a1=S1=

n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=

故an=

20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

當(dāng)x=0時，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1

當(dāng)0＜x＜1時，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當(dāng)x＜0時，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即證x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,則

f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt

所以f(t)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+∞）上單調(diào)遞增，故f(t)＞f（1）=0,得證。

21.解：（1）焦點到的最短距離為，所以p=2.

（2）拋物線，設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，則

,

,且.

,都過點P(x0,y0）,則故，即.

聯(lián)立，得，.

所以=，，所以

===.

而.故當(dāng)y0=-5時，達到最大，最大值為.

22. (1)因為C的圓心為(2,1)，半徑為1.故C的參數(shù)方程為（為參數(shù)).

 (2)設(shè)切線y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故

=1

即|2k|=,4=，解得k=±.故直線方程為y= (x-4)+1, y=(x-4)+1

故兩條切線的極坐標方程為sin=cos-+1或sin=cos++1.

23.解：(l)a = 1時，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.

當(dāng)x≥1時，2x十2 ≥6,得x≥ 2;

當(dāng)-3<x<1時,4≥6此時沒有x滿足條件；

當(dāng)x≤-3時-2x-2≥6.得x≤-4，

綜上，解集為(-∞,-4]U[2, -∞).

(2) f(x)最小值>-a,而由絕對值的幾何意義，即求x到a和-3距離的最小值.

當(dāng)x在a和-3之間時最小，此時f(x)最小值為|a+3|,即|a+3|＞-a.

A≥-3時,2a+3>0，得a>-；a<-3 時,-a-3>-a,此時a不存在.

綜上，a>-.

來源：高三網(wǎng)