大家好，小高來為大家解答以上問題。直角三角形的面積公式是什么，三角形的面積公式是什么很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

一、三角形面積公式匯總

二、三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。

三角形重心定理

三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個(gè)物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）

重心的性質(zhì)：

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1。

2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。

3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

三角形外心定理

三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。

外心的性質(zhì)：

1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。

3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。

4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標(biāo)：(

(c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c

)。

5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等

三角形垂心定理

三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG∶GH=1∶2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Eulerline））

3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

定理證明

已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F

，求證：CF⊥AB

證明：

連接DE

∵∠ADB=∠AEB=90度

∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓

∴∠ADE=∠ABE

∵∠EAO=∠DAC

∠AEO=∠ADC

∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC

∴ΔEAD∽ΔOAC

∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度

∴∠ACF+∠BAC=90度

∴CF⊥AB

因此，垂心定理成立！

三角形內(nèi)心定理

三角形內(nèi)切圓的圓心，叫做三角形的內(nèi)心。

內(nèi)心的性質(zhì)：

1、三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。

2、直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

3、P為ΔABC所在平面上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是ΔABC內(nèi)心的充要條件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

4、O為三角形的內(nèi)心，A、B、C分別為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，延長AO交BC邊于N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

三角形旁心定理

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。

旁心的性質(zhì)：

1、三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的旁心。

2、每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。

3、旁心到三邊的距離相等。

如圖，點(diǎn)M就是△ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。

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