大家好，小高來(lái)為大家解答以上問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，高中數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及法則很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

一、復(fù)合函數(shù)如何求導(dǎo)

1、f[g(x)]中,設(shè)g(x)=u,則f[g(x)]=f(u)，

2、從而（公式）：f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)

3、呵呵，我們的老師寫在黑板上時(shí)我一開(kāi)始也看不懂，那就舉個(gè)例子吧,耐心看哦！

4、f[g(x)]=sin(2x),則設(shè)g(x)=2x,令g(x)=2x=u,則f(u)=sin(u)

5、所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u，得f'[g(x)]=2cos(2x).

6、以此類推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)

7、y'={sin(3-x)]'=-cos(x)

8、一開(kāi)始會(huì)做不好，老是要對(duì)照公式和例子，

9、但只要多練練，并且熟記公式，最重要的是記住一兩個(gè)例子，多練習(xí)就會(huì)了。

二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

10、證法一：先證明個(gè)引理

11、f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)，存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續(xù)的函數(shù)H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)

12、證明：設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0

13、因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

14、所以H(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

15、反之，設(shè)存在H(x),x∈U(x0),它在點(diǎn)x0連續(xù)，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

16、因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

17、所以f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f'(x0)=H(x0)

18、引理證畢。

19、設(shè)u=φ(x)在點(diǎn)u0可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u0=φ(x0)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)F(x)=f(φ(x))在x0可導(dǎo)，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

20、證明：由f(u)在u0可導(dǎo)，由引理必要性，存在一個(gè)在點(diǎn)u0連續(xù)的函數(shù)H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

21、又由u=φ(x)在x0可導(dǎo)，同理存在一個(gè)在點(diǎn)x0連續(xù)函數(shù)G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

22、于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

23、因?yàn)棣?，G在x0連續(xù)，H在u0=φ(x0)連續(xù)，因此H(φ(x))G(x)在x0連續(xù)，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導(dǎo)，且

24、F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

25、證法二：y=f(u)在點(diǎn)u可導(dǎo)，u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

26、證明：因?yàn)閥=f(u)在u可導(dǎo)，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

27、當(dāng)Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

28、但當(dāng)Δu=0時(shí)，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。

29、又因?yàn)棣≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得

30、dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

31、又g(x)在x處連續(xù)(因?yàn)樗蓪?dǎo)),故當(dāng)Δx->0時(shí)，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

32、則lim(Δx->0)α=0

本文到此結(jié)束，希望對(duì)大家有所幫助。